System의 안정도 판별

시스템을 표현하는 방법 중 주로 사용되는 방법으로 transfer function과 state space 표현법이 있다. 오늘은 이 두 가지 방법에 대해 이야기 하려한다.
그 전에 system의 범위를 LTI system(Linear Time Invariant system)으로 줄이겠다.

그 이유는 Transfer function은 LTI system에서 밖에 정의되지 않으며, State Space 방정식은 dynamic 혹은 Time variant system을 표현 할 수 있으나 LTI system이 아닌 system에서는 아래의 방법으로는 안정도를 판별할 수 없다.

dynamic system과 같은 복잡한 system은 일단은포기하자.

1. Transfer Function

Transfer function을 알고있다면 system의 안정도를 알기는 매우 쉽다. pole(극점)의 실수부가 음의 부호를 가지면 된다. 대학교 학부과정에서 배우는 내용이므로 빠르게 생략하고 싶지만 조금 주의 해야할 점을 기술해야겠다.
Transfer function이 proper해야 한다는 점을 잊지 말자. proper이란 말은 한마디로 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같다는 이야기이다.

2. State Space

State Space로 표현한 시스템 또한 안정도를 판별하기는 쉽다. coefficient matrix A의 eigen value(고유치)의 실수부가 음의 부호를 가지면 된다.

3. 비교

위의 두 시스템의 표현법에서 안정도를 판별하는 작업은 비슷한 점이 있다. pole과 eigen value가 negative sign을 가지면 된다. 이와 같은 특징을 가지게 되는 점은 아래의 유도를 통해 쉽게 알 수 있다.
아래와 같은 state space equation을 transfer function으로 표현 해보자

 

위의 방정식을 라플라스 변환하면

여기서 transfer function의 분모를 주의 깊게 살펴보자. transfer function의 분모가 0인 s값인 pole을 구하는 과정과 A matrix의 고유치를 구하는 과정 사실상 같다는 것을 알 수 있다. 

결론을 이야기하자면 pole과 eigen value는 거의 같다고 볼 수 있다. 거의 라고 표현하는 이유는 hidden pole의 경우는 제외해야 하기 때문이다.
만약 state space에서 transfer function으로 변환과정이 끝나고 pole과 zero가 약분되어 pole이 사라진다면 eigen value와 pole이 완벽하게 일치한다고 볼 수는 없다. 이와 같은 상황의 pole을 hidden pole이라고 하는데 hidden pole을 제외한다면 pole과 eigen value는 같다고 볼 수 있다.